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Der Lehrsatz des Pythagoras

(griechischer Mathematik um 550 v.Chr)

Für jede rechtwinkligen Dreieck gelten folgenden Bezeichnungen:
Hypotenuse:Grundlinie im rechtwinkligen Dreieck.
Katheten:Die beiden rechten Winkel einschließenden Seiten.Die Höhe auf c teilt die hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q.Diese Abschnitte werden auch Kathetenprojektionen genannt.(p ist die Projektion der kathete b,q ist die Projektion der kathete a.).In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem hypotenusenquadrat.Wobei a und b wie im Bild für die Längen der an rechten Winkel anliegenden Seiten,der Katheten stehen und c die Länge der dem rechten winkel gegenüberliegenden seite,der Hypotenuse,darstellt.Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt,der als erster einen Beweis dafür gefunden haben soll,was allerdings in der Forschung stark bezweiflet wird.

a² + b²  = c²

Schon in 4 Jahrhundert v.Chr fürten Aristoteles und Aristoxenos die Anfänge der Mathematik bei den Griechen auf die Pythagoreer bzw.Pythagoras zurück in der Spätanlike und im Mittelalter war die Überzeugung allgemein verbreitet,Pythagoras sei der Begründer der Mathematik gewesen.Damit war auch die Geometrie gemeint,der für die antiken Griechen wichtigste Teil der Mathematik.Dazu passt die Überlieferung von Aufenthalt des Pythagoras in Ägypten,denn schon Herodot war der Überzeugung,die Geometrie stamme ursprünglich aus Ägypten,sie sei ein Ergebnis der Notwendigkeit stets neuer Landvermessung nach den regelmäßigen Nilüderschwemmungen gewesen.Schon Isokrates nahm an,Pythagoras habe seine Mathematik und Astronomie den Ägypten verdankt.Ferner galt Pythagoras auch als Vermittler mathematisches Wissens der Babylonier,denn man ging davon aus,dass er sich in seiner Jugend aufgehalten hatte.
Beweis 

Das obenstehende Quadrat besteht aus 4 gleichen rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten a,b,c und einem Quadrat mit der Seite c.Das gesamte Quadrat hat die Fläche:(a + b)² = a² + b² + 2ab
Die fläche der 4 gleichen Dreiecke beträgt 4ab/2 = 2ab und die Fläche für das mittlere Quadrat beträgt c².

(a + b)² = 2ab + c²
a² + b² + 2ab = 2ab + c²

Danach ist: a² + b² = c²