Thursday, 26. march 2009
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Die Ellipse *****
Die Ellipse ist eine in sich geschlossene Linie.Sie ist der geometrische
Ort aller Punkte,für die die Summe der Abstände von zwei Punkten (Brennenpunkten) F1/F2 gleich ist.Die Summe der beiden Abstände von den beiden Brennenpunkten ist für jeden
Punkt der Ellipse gleich.
Die Ellipse hat zwei Durchmesser(d1 und d2),sie stehen senkrecht zueinander und schneiden einander im Mittelpunkt M.Die beiden Brennenpunkte liegen auf dem längeren
Durchmesser der Ellipse und sind gleichweit von M entfernt.
Die Ellipse kann auch als ein Kegelschnit angesehen werden,der entsteht,wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der halbe Öffnungswinkel des Doppelkegels ist.Der Kreis ist
ein Sonderfall der Ellipse.Eine Ellipse,deren
Mittelpunkt in Ursprung des
Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt,nennt man Ellipse in der 1.Hauptlage.Es gilt die
Gleichung x²/a²+ y²/b²=1 für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse.
Brennpunkt
Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie,
Leitstrahl, oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der
Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem
anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl,der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert,dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem
ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.
Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird z. B. Schall nicht nur
„verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und
phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.
von Naim Ben Hassen Ghanmi
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veröffentlicht in: Algebra & Geometrie
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Tuesday, 24. march 2009
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Kreis (Geometrie)
Der Kreis ist eine in sich geschlossene Linie.Er ist der geometrische Ort aller
Punkte,die von einem festen Punkt M die gleiche Entfernung(r) haben,alle Punkte auf der kreislinie sind gleichweit von dem Mittelpunkt entfernt.Die Länge der Kreislinie (Peripherie) ist der
Umfang des Kreises,die Kreisfläche wird von der Kreislinie begrenzt.Der Radius (r) ist die Verbindungsstrecke des Mittelpunktes mit einem Punkt auf der Kreislinie und die Durchmesser (d) ist die
gerade Verbindung zweier Kreispunkte über den Mittelpunkt.Die Fläche durch zwei konzentrische Kreise (Kreise mit dem gleichen Mittelpunkt) begrenzt wird,nennen wir einen
Kreisring.Nach einer anderen, äquivalenten, Definition ist ein Kreis die Menge aller Punkte in
der Ebene, für die der Quotient q ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten konstant ist. Die beiden Punkte liegen auf einem von M ausgehenden Strahl im Abstand r / q bzw. r * q und wechselseitig auf der
Polaren des jeweils anderen Punktes als Pol. Ähnliche Definitionen gibt es auch für die Ellipse (konstante Summe), Hyperbel (konstante Differenz) und die Cassinische Kurve (konstantes Produkt der
Abstände).
Koordinatengleichung
Der Kreis mit dem Mitelpunkt M(xm,ym) und dem Radius r lässt sich durch eine Koordinatengleichung
(x - xm)² + (y-ym)² = r² ausdrücken.
x und y sind die Koordinaten eines beliebingen Punktes auf dem Kreis.Ein wichtiger Spezialfall ist die koordinatengleichungen des Einheitskreises: x² + y² = 1
Parameter darstellung
Eine andere Möglichkeit einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben bietet die Parameter darstellung
x = xm + r cosφ
y = ym + r sinφ
0 ≤ φ ≤ 2Π
Wendet man auch diese gleichungen speziell auf den Einheitskreis an,so erhält man
x = cosφ
y = sinφ
kreisberechnung
Umfang:Im Rahmen der Elementargeometrie ist Π das Verhältnis von Kreisumfang zu dessen Durchmesser,und zwar für belieblige Kreise.Somit gilt:U = Π.d = 2Π.r.
Der Flächeninhalt der Kreisfläche A ist proportional zu Quadrat des Radius r bzw.des Durchmessers d des Kreises.Man bezeichnet ihn als Kreisinhalt. A = Π.r² = (d/2)².Π
von Naim Ben Hassen Ghanmi
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veröffentlicht in: Algebra & Geometrie
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Saturday, 21. march 2009
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17:50
Trigonometrie
Wissen-ok!
Die trigonometrie ist ein wichtiges Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik Die Grundaufgabe der trigonometrie besteht darin,aus drei Größen eines gegebenen
Dreieck(Seitenlängen,Winkelgrößen,Längen von Dreiecks transversalen) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen.
Sin α = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c
Cos α = Ankathete/Hypotenuse = b/c
Tang α = Sin α/Cos α = a/b
Cotg α = Cos α/Sin α.Als Trigonometrischer Pythagoras wird die einfache
Formel: Sin²α + Cos²α
=1
bezeichnet.
Beweis:
Sinα = a/c und Cosα = b/c.Laut Pythagoras gilt:
a² + b² = c²also Sin²α + Cos²α = (a/c)²+(b/c)²
= (a² + b²)/c²
= c²/c²
= 1
Auch für beliebige Dreiecke(Im Allgemeinen ohne rechten Winkel) wurden etliche Formeln entwickelt.
Sinussatz: α/sinα = β/sinβ = γ/sinγ
Cosinussatz: a²= b²+c²− 2bc cosα
b²= a²+c²− 2ac
cosβ
c²= a²+b²− 2ab
cosγ
von Naim Ben Hassen Ghanmi
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veröffentlicht in: Algebra & Geometrie
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Saturday, 14. march 2009
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17:12
Der Lehrsatz des Pythagoras
(griechischer Mathematik um 550 v.Chr)
Für jede rechtwinkligen Dreieck gelten folgenden Bezeichnungen:
Hypotenuse:Grundlinie im rechtwinkligen Dreieck.
Katheten:Die beiden rechten Winkel einschließenden Seiten.Die Höhe auf c teilt die hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q.Diese Abschnitte werden auch Kathetenprojektionen
genannt.(p ist die Projektion der kathete b,q ist die Projektion der kathete a.).In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem hypotenusenquadrat.Wobei a und b wie
im Bild für die Längen der an rechten Winkel anliegenden Seiten,der Katheten stehen und c die Länge der dem rechten winkel gegenüberliegenden seite,der Hypotenuse,darstellt.Der Satz ist nach
Pythagoras von Samos benannt,der als erster einen Beweis dafür gefunden haben soll,was allerdings in der Forschung stark bezweiflet wird.
a² + b² = c²
Schon in 4 Jahrhundert v.Chr fürten Aristoteles und Aristoxenos die Anfänge der
Mathematik bei den Griechen auf die Pythagoreer bzw.Pythagoras zurück in der Spätanlike und im Mittelalter war die Überzeugung allgemein verbreitet,Pythagoras sei der Begründer der Mathematik
gewesen.Damit war auch die Geometrie gemeint,der für die antiken Griechen wichtigste Teil der Mathematik.Dazu passt die Überlieferung von Aufenthalt des Pythagoras in Ägypten,denn schon Herodot
war der Überzeugung,die Geometrie stamme ursprünglich aus Ägypten,sie sei ein Ergebnis der Notwendigkeit stets neuer Landvermessung nach den regelmäßigen Nilüderschwemmungen gewesen.Schon
Isokrates nahm an,Pythagoras habe seine Mathematik und Astronomie den Ägypten verdankt.Ferner galt Pythagoras auch als Vermittler mathematisches Wissens der Babylonier,denn man ging davon
aus,dass er sich in seiner Jugend aufgehalten hatte.
Beweis
Das obenstehende Quadrat besteht aus 4 gleichen rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten a,b,c und einem Quadrat
mit der Seite c.Das gesamte Quadrat hat die Fläche:(a + b)² = a² + b² + 2ab
Die fläche der 4 gleichen Dreiecke beträgt 4ab/2 = 2ab und die Fläche für das mittlere Quadrat beträgt c².
(a + b)² = 2ab + c²
a² + b² + 2ab = 2ab + c²
Danach ist: a² + b² = c²
von Naim ben hassen Ghanmi
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veröffentlicht in: Algebra & Geometrie
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